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Wie man die kinetische Energieformel ableitet

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Aus welchem ​​allgemeineren Ausdruck leitet sich die kinetische Energieformel ab?

Die Formel kann aus der Definition von Arbeit als Differenz der kinetischen Energien abgeleitet werden A = Ek2-Ek1.

Und Formeln: Arbeit A = F * S (Kraft * Weg).

Als F = m * a dann A = m * a * S

Außerdem aus der Kinematikbeschleunigung: a = (V2-V1) / t

S = (V2 + V1) * t / 2-weg mit gleichmäßig beschleunigter bewegung.

Wir setzen diese Größen in die Arbeitsformel ein: A = m * ((V2 - V1) / t) * ((V2 + V1) * t / 2)

Reduzieren wir den Ausdruck um t und die Klammern mit der Summe und der Differenz der Geschwindigkeiten, so transformieren wir in die Differenz der Geschwindigkeitsquadrate:

Wir erweitern die Klammern: A = m * V2 ^ 2/2 - m * V1 ^ 2/2.

Der Unterschied in der letzten Formel entspricht also der allerersten Formel.

Wir erhalten an jedem Punkt Formeln für kinetische Energie:

Ek2 = m * V2 ^ 2/2

Ek1 = m * V1 ^ 2/2

Zunächst wird die potentielle Energieformel abgeleitet, und die kinetische Energieformel wird bereits daraus abgeleitet. Die Formel der potentiellen Energie wurde von Isaac Newton in seinem berühmten Buch "Mathematical Principles of Natural Philosophy" aufgenommen. Er argumentierte grob wie folgt.

Lass irgendeinen Gegenstand auf meiner Handfläche liegen. Ich werde die Handfläche mit dem Subjekt sehr langsam und gleichmäßig anheben, so dass die Reaktionskraft der Handfläche N durch die Schwerkraft des Subjekts P ausgeglichen wird und die kinetische Energie aufgrund der sehr geringen Geschwindigkeit praktisch Null wäre. Wohin geht die Arbeit A = INT (P dh) = mgh, die ich zu dem Thema mache? Es wird in die latente potentielle Energie des Objekts umgewandelt, die sich in eine klare kinetische Energie verwandeln kann, wenn das Objekt frei fallen darf.

Nun schauen Sie sich den Fehler an, den Newton gemacht hat. Wenn mehrere Kräfte F1, F2, F3 usw. gleichzeitig auf ein Objekt einwirken, ist es zur Berechnung der Gesamtenergie, die von allen Kräften zusammen erzeugt wird, erforderlich, die resultierende Kraft und nicht eine der bestimmten Kräfte unter dem Integralzeichen zu ersetzen. Und Newton umrahmte die private Macht, die Macht des Gewichts. Da in dem von ihm betrachteten Fall die resultierende Kraft Null ist (die Gewichtskraft wird durch die Kraft der Handflächenreaktion ausgeglichen), zeigt eine korrekte Berechnung Nullarbeit. Und wenn die Arbeit Null ist, ändert sich die Energie des Objekts nicht. Und wenn es zu Beginn des Anstiegs gleich Null war, bleibt es ungeachtet der Höhe des Anstiegs gleich Null. Mit anderen Worten, potentielle Energie existiert in der Natur nicht. In der Praxis ist uns jedoch bewusst, dass das Heben schwerer Gegenstände mit einem Energieaufwand einhergeht. Also ist die Schlussfolgerung über Null Arbeit falsch? Nein, er hat recht. Es ist nur so, dass die Arbeit nicht am zu hebenden Gegenstand ausgeführt wird, sondern an etwas anderem. Und die mgh-Formel beschreibt nicht die potentielle Energie eines Objekts, sondern die Energie von etwas anderem.

Nun wenden wir uns der kinetischen Energie zu. In der Kinematik (die Wissenschaft der gleichmäßigen und ungleichmäßigen Bewegung) gibt es eine solche Formel V1 V1 - V0 V0 = 2aS für eine beschleunigte Bewegung, wobei V0 die Anfangsgeschwindigkeit ist, V1 die Endgeschwindigkeit ist, a die Beschleunigung ist, S die Länge des zurückgelegten Weges ist. Wenn zum Anfangszeitpunkt die Geschwindigkeit des Objekts V0 gleich Null war, wird das Produkt der Beschleunigung durch die Länge ausgedrückt und in die Formel der potentiellen Energie eingesetzt. Man erhält mVV / 2, dh die Formel der kinetischen Energie. Und jetzt werden wir argumentieren. Beschreibt der mgh-Komplex nicht die potentielle Energie des Objekts, sondern etwas anderes, so beschreibt die daraus erhaltene Formel mVV / 2 auch nicht die kinetische Energie des Objekts, sondern die Energie von etwas anderem. Und was genau - ich werde versuchen, es jetzt zu erklären.

Wenn wir ein Objekt anheben, überwinden wir nicht den Widerstand des Objekts, sondern des Gravitationsfelds. Daher werden wir das Gravitationsfeld bearbeiten und seine Energie um den Wert von E = mgh erhöhen. Und wenn wir ein Objekt werfen, deformieren wir durch seine beschleunigte Bewegung die Struktur des uns umgebenden physischen Vakuums, arbeiten daran und erhöhen seine Energie um E = mVV / 2. Anstelle von potentieller Energie gibt es also die Energie des Gravitationsfeldes und anstelle von kinetischer Energie die Energie eines physikalischen Vakuums.

9. Konservative und nichtkonservative Kräfte. Die Verbindung zwischen Macht und

potentielle Energie. Gradient der potentiellen Energie. Die Bedingung ist

Der skalare Energieansatz in der Mechanik ist besonders im Fall der sogenannten fruchtbar konservativWechselwirkungen, wobei die Arbeit der stationären Kräfte nicht von der Form der Flugbahn abhängt, sondern nur von der Anfangs- und Endposition des Körpers bestimmt wird.

Die Kräfte der Gravitationswechselwirkung, die Kräfte der Elastizität, aber nicht die Kräfte der Reibung und des Widerstands, sind konservativ. Für konservative Kräfte kann man eine solche Energiekennlinie einführen wiepotentielle Energiewelches ist eine eindeutige Funktion der Koordinaten (Position), die zusammen mit der kinetischen Energie - eine Funktion der Geschwindigkeiten - die mechanische Gesamtenergie des Körpers bildet (Systeme).

Im Gegensatz zu kinetischer Energie Ezu = m 2 2, was eine eindeutige, einheitlich ausgedrückte Funktion der Geschwindigkeiten und im Sinne eines skalardynamischen Bewegungsmaßes ist, potentielle Energie En - ist ein skalares Maß für konservative Wechselwirkungen und hat keinen einheitlichen Ausdruck durch die Koordinaten (Position) des Körpers.

Konservative Kräfte - Kräfte, deren Arbeit nicht von der Form der Flugbahn abhängt, auf der sich der Körper bewegt, und die am Anfangs- und Endpunkt der Flugbahn bestimmt werden, wobei die Arbeit dieser Kräfte in einer geschlossenen Schleife = 0 ist

Dissipative Kräfte - Kräfte, deren Arbeit von der Form der Flugbahn abhängt, auf der sich der Körper bewegt.

Die Wechselwirkung im Ergebnis der Katze zwischen den Körpern führt zu einem Kraftschweiß, der mittels eines Kraftschweißfeldes ausgeführt wird.

Das Verhältnis von Kraft und potentieller Energie. Gradient der potentiellen Energie.

Am Körper, dessen Position im Schweißfeld durch den Radiusvektor r bestimmt wird: F = xi + yj + zk

Gradient - ein Operator, der anzeigt, welche Aktionen mit einer Skalarfunktion ausgeführt werden müssen. Ist ein Vektor, der auf den schnellsten Anstieg der Skalarfunktion gerichtet ist. Dann ergibt sich die Verbindung zwischen F und En wie folgt: force = gradEn mit entgegengesetztem Vorzeichen => F ist gegen grad gerichtet.

Kräfte, die nur von Koordinaten abhängen (Kräfte, die nicht von der Zeit abhängen, werden stationär genannt), können mit eingestellt werden Kraftfelder - Räume, in denen an jedem Punkt eine bestimmte Kraft auf den Körper einwirkt. Beispiele für Kraftfelder sind das Gravitationsfeld und insbesondere das Gravitationsfeld, das elektrostatische Feld usw.

Kräfte (und Felder), ArbeitA12was auf dem Weg zwischen zwei beliebigen Punkten 1 und 2 nicht von der Form der Flugbahn zwischen ihnen abhängtgenannt werden Potenzialund wenn sie stationär sind, werden sie gerufenonservative. Potenzial sind alle homogen Felder (an jedem Punkt dieser Felder bleibt die Kraft unverändert) sowie Felder zentrale Kräfte (Sie hängen nur vom Abstand zwischen den interagierenden Punkten ab und sind entlang der Verbindungsgeraden ausgerichtet.)

Wir erhalten die Formel für die Beziehung zwischen der Stärke solcher Felder und der potentiellen Energie. Aus dem Verhältnis von Arbeit zu potentieller Energie A12 = Fdr = Ep1 - En2 , oder für Grundarbeiten: А = Fdr = - dЕn. Denken Sie daran, dass Fdr = Fsds, wobei ds = dr ist der Elementarpfad / Verschiebung / und Fr = Fcos  - Projektion des Vektors F sich bewegen drschreibe: Frds = - dЕnwo - dЕn - es gibt eine Abnahme der potentiellen Energie in der Richtung der Verschiebung dr. Von hier fr= - Еnr, die partielle Ableitung r wird in eine gegebene Richtung genommen.

In Vektorform kann die resultierende differentielle Beziehung von Kraft zu potentieller Energie wie folgt geschrieben werden:

F = -(ichЕnx + jЕnU + kЕnz) = - grad Ån = - Enwo der symbolische Vektoroperator (die Vektorsumme der ersten Teilableitungen in Bezug auf Raumkoordinaten) heißt der Nabl-Operator oder Steigung Skalarfunktion (in diesem Fall potentielle Energie).

Also Kraft F = - grad En = - En Im Potentialfeld befindet sich ein Anti-Gradient / Gradient mit einem Minuszeichen / Potentialenergie oder, anders ausgedrückt, die räumliche Ableitung, die Geschwindigkeit der Abnahme der potentiellen Energie im Raum in eine bestimmte Richtung.

Die Bedeutung des Gradienten kann durch Einführung des Konzepts von e geklärt werdenpotenzielle Oberfläche - in alle Punkte davon potentielle Energie Enhat die gleiche Bedeutung, d.h.. En=const.

Aus der Formel F = - En Daraus folgt die Projektion des Vektors F zur Richtung der Tangente zur Äquipotentialfläche an jedem Punkt gleich Null. Dies bedeutet, dass der Vektor F Normal zur Äquipotentialfläche En = const.

Wenn weiter, nehmen Sie die dr drndann dЕn 0, d. H. Ein Vektor F nach unten gerichtet En. Der Gradient von En Es gibt einen Vektor, der senkrecht zur Äquipotentialfläche in Richtung des schnellsten Anstiegs der Skalarfunktion / hier - potentielle Energie / gerichtet ist.

Am Beispiel eines Gravitationsfeldes, dessen Kraft direkt proportional zur Masse des Körpers ist, d. H. F = m1m2Für 2 können wir annehmen, dass sich jeder der wechselwirkenden Körper im Kraftfeld des anderen befindet: F = mМr 2 = gm, wobei g = Fm = Мr 2 die Gravitationsfeldstärke / -spezifisch ist Kraft - berechnet pro Masseneinheit / erzeugt durch einen Massenkörper M.

Aus dem Verhältnis von Kraft zu potentieller Energie folgt:

oder  gdr = 1 - 2 wo  = En/ m ist das Potential des Gravitationsfeldes, das die spezifische / pro Einheit Masse / potentielle Energie ist.

Oder g = - grad  = -  ist die Formel für die Beziehung zwischen Spannung und Potential des Gravitationsfeldes, Spannung ist der Antiradient des Potentials.

Lassen Sie das Teilchen sich in einem eindimensionalen Potentialfeld bewegen, dessen Profil, d. H. Die Abhängigkeit En (x) ist in der Figur in Form der sogenannten dargestellt Potentialkurve.

Aus dem Gesetz der Erhaltung der mechanischen Energie: E = Ezu + En = m  2  2 + En/ x / = const folgt daraus, dass in der Region, in der En > E Partikel können nicht bekommen. Wenn also die Gesamtenergie E eines Teilchens gleich E ist1 Ich sehe Abb. /, dann kann sich das Teilchen im Bereich  zwischen den x-Koordinaten bewegen1 und x2 (oszilliert in diesem Bereich, der als Potentialtopf bezeichnet wird) oder im Bereich  rechts von der x-Koordinate3. Das Teilchen kann jedoch nicht von Region I nach Region II oder umgekehrt gelangen, eine potenzielle Barriere der Höhe E verhindert diesb  E1Trennung dieser Bereiche.

Teilchen mit Energie E2größere Höhe der Potentialbarriere (E2  Eb), kann sich im gesamten Bereich rechts von x bewegenüber. Seine kinetische Energie wird zunehmen (im Bereich von xüber bis x ), dann fallen (im Bereich von x  bis x ) und dann im Bereich x  x  wieder zunehmen.

Am Punkt x herrscht ein stabiles Gleichgewicht, hier En = En min und Fx = -gradx En = - Ånх = 0. Wenn ein Körper um dx  0, dЕ von ihm verdrängt wirdn  0 und die Kraft wirkt auf den Körper

Fx = - Еnx  0, das von einem Charakter ist, der den Körper in die Gleichgewichtsposition zurückbringt.

Am Punkt x herrscht ein instabiles Gleichgewicht.

hier En = En max und F = - grad En = - Ånх = 0. Wenn ein Körper um dx  0, dЕ von ihm verdrängt wirdn  0 und die Kraft F wirkt auf den Körperx = - Ånх  0, das einen Charakter hat, der den Körper von der Gleichgewichtsposition abweicht.

Sehen Sie sich das Video an: Kinetische Energie Bewegungsenergie Gehe auf & werde #EinserSchüler (September 2021).

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